Respuesta directa
Un ejemplo práctico de R cuadrado (R²) comienza con un pequeño conjunto de datos, calcula los valores predichos del modelo y luego compara dos cantidades: (1) la variación explicada por el modelo y (2) la variación total en los resultados observados. R² es el ratio de la variación explicada respecto a la variación total, definido como
R² = 1 − (SSres / SStot)
donde SSres es la suma residual de cuadrados y SStot es la suma total de cuadrados alrededor de la media.
A continuación se muestra un ejemplo completamente numérico. No asume ningún dato de mercado en vivo.
Mecanismo o definición
Para hacer explícito el cálculo, defina una variable dependiente y (valores observados) y un conjunto de predicciones del modelo ŷ para los mismos puntos temporales.
- Calcule la media de los valores observados: ȳ = promedio(y).
- Calcule la suma total de cuadrados (SStot): SStot = Σ(yi − ȳ)²
- Calcule los residuos y la suma residual de cuadrados (SSres): SSres = Σ(yi − ŷi)²
- Convierta a R²: R² = 1 − SSres / SStot
Interpretación en términos sencillos: R² aumenta cuando las predicciones del modelo se mantienen cerca de los valores observados (residuos pequeños) en relación con cuánto varían las observaciones alrededor de su media (variación total grande).
Evidencia o ejemplo
Supongamos que tenemos 4 resultados observados y y un conjunto simple de predicciones ŷ producidas por algún modelo.
Sea:
- y = [2, 0, 4, 6]
- ŷ = [2, 1, 3, 5]
Supuestos:
- Las predicciones ŷ corresponden a los mismos cuatro casos que y.
- Estamos utilizando la definición estándar de R² como varianza explicada.
- No se incluyen costos, efectos de ejecución ni comportamiento futuro; esto es puramente un resumen aritmético del ajuste a estos cuatro puntos.
Paso 1: Media de y ȳ = (2 + 0 + 4 + 6) / 4 = 12/4 = 3
Paso 2: Suma total de cuadrados (SStot)
- (2 − 3)² = 1
- (0 − 3)² = 9
- (4 − 3)² = 1
- (6 − 3)² = 9 Por lo tanto, SStot = 1 + 9 + 1 + 9 = 20
Paso 3: Residuos y SSres Residuos (yi − ŷi):
- 2 − 2 = 0 → al cuadrado: 0
- 0 − 1 = −1 → al cuadrado: 1
- 4 − 3 = 1 → al cuadrado: 1
- 6 − 5 = 1 → al cuadrado: 1 Por lo tanto, SSres = 0 + 1 + 1 + 1 = 3
Paso 4: Calcular R² R² = 1 − SSres / SStot = 1 − 3/20 = 17/20 = 0.85
Resultado: Para este conjunto de datos y estas predicciones, R² = 0.85. Esto significa que el error residual es mucho menor que la variabilidad de y alrededor de su media.
Limitaciones y riesgos
- R² no es causalidad. Un R² alto puede ocurrir incluso si el modelo captura patrones sin explicar por qué ocurren.
- R² depende de la y elegida y de cómo se produce ŷ. Si cambia la forma del modelo, los datos de entrenamiento o el preprocesamiento, R² puede cambiar.
- Riesgo de sobreajuste: un modelo puede ajustar puntos históricos de cerca (R² alto dentro de la muestra) pero generalizar mal. Las relaciones históricas no establecen resultados futuros.
- Sensibilidad del conjunto de datos: si SStot es pequeño (los valores de y se agrupan cerca de su media), R² puede volverse inestable o engañoso.
- Modo de fallo con datos fuera de la muestra: el R² calculado con datos nuevos puede ser mucho más bajo que los valores dentro de la muestra porque los residuos generalmente aumentan cuando la relación cambia.
Verificación o siguiente pregunta
Puede verificar de forma independiente cualquier valor de R² recalculando los tres ingredientes: ȳ, SStot y SSres utilizando la misma y observada y las mismas ŷ predichas. Si desea ir más allá, una siguiente pregunta útil es cómo se comporta R² cuando las predicciones provienen de diferentes ventanas, diferentes escalas o diferentes elecciones de modelo, especialmente cuando las relaciones no son estables a lo largo del tiempo.