Respuesta directa: qué se calcula y cómo
El Índice de Dimensión Fractal (a menudo abreviado como un indicador de estilo “FDI”) se calcula estimando la dimensión fractal de una secuencia (comúnmente una serie temporal de precios o rendimientos). La estimación produce un número que refleja cuán “rugosa” o “autosimilar a través de escalas” parece la data, basándose en cómo cambian los conteos o la variabilidad a medida que se examinan escalas más pequeñas y más grandes.
No existe una fórmula universal única para cada producto o paquete de gráficos. En la práctica, el cálculo sigue una de algunas familias de estimación comunes (por ejemplo, escala de estilo conteo de cajas o escala de rango reescalado). Lo que es consistente entre implementaciones es la necesidad de (1) una serie temporal de entrada, (2) una longitud de ventana o tamaño de muestra, y (3) elecciones de escala que determinan qué “tamaños” se comparan.
Mecanismo o definición: las partes móviles
1) Elija la serie temporal de entrada
Se comienza con una secuencia ({x_t}). En contextos relacionados con el trading, (x_t) puede ser:
- Una serie de precios cruda (\text{precio}_t)
- Una serie de log-precios (\log(\text{precio}_t))
- Rendimientos, como (r_t = \log(\text{precio}t/\text{precio}{t-1}))
Diferentes métodos interpretan la “rugosidad” de manera distinta, por lo que importa qué (x_t) se utiliza. Si su objetivo es verificar cálculos, su primer paso es confirmar qué transformación (precio vs. rendimientos vs. log-precio) asume la definición.
2) Decida la familia de estimación
Dos formas ampliamente utilizadas para estimar la dimensión fractal a partir de datos de series temporales son:
A) Estilo conteo de cajas (escala de conteos)
- Se superpone una cuadrícula de tamaños de caja sobre una representación de la serie.
- Para cada tamaño de caja (\varepsilon), se cuenta cuántas cajas (N(\varepsilon)) se necesitan para cubrir el gráfico (o una incrustación relacionada).
- Se ajusta una relación como (N(\varepsilon) \propto \varepsilon^{-D}), lo que implica que (D) puede estimarse a partir de la pendiente de un gráfico log-log.
Un paso de estimación típico se ve así: [ \log N(\varepsilon) = a - D,\log \varepsilon ] Entonces (D) se obtiene de la pendiente cuando se ajusta (\log N(\varepsilon)) versus (\log \varepsilon).
B) Estilo rango reescalado (escala de variabilidad a través de rezagos)
- Se calcula una medida de variabilidad sobre diferentes tamaños de rezago (\tau) (por ejemplo, rangos o fluctuaciones agregadas).
- Se examina cómo esa variabilidad escala con (\tau).
- La estimación de la dimensión fractal se deriva de un exponente obtenido al ajustar una ley de potencia.
Una versión genérica es: [ \text{variabilidad}(\tau) \propto \tau^{H} ] y luego (D) se mapea desde (H) usando una relación específica de los supuestos del modelo. El mapeo debe establecerse exactamente para reproducir resultados.
3) Longitud de ventana y rango de escala (los parámetros que cambian el número)
La mayoría de las implementaciones de indicadores se calculan de forma móvil:
- Longitud de ventana (L): cuántos puntos consecutivos se utilizan en cada paso de tiempo.
- Rango de escala: qué (\varepsilon) (tamaños de caja) o (\tau) (rezagos) se consideran.
- Número mínimo de escalas: cuántos tamaños distintos se incluyen para ajustar una línea en un gráfico log-log.
Si cambia (L) o el rango de escala, la pendiente/exponente ajustado puede cambiar. Esa es una razón por la cual no debe comparar valores entre plataformas a menos que pueda confirmar el mismo método y configuración subyacentes.
4) Preprocesamiento y detalles numéricos
Incluso cuando se elige el mismo método general, los resultados dependen de elecciones de implementación como:
- Si se elimina la tendencia o se normaliza la serie.
- Cómo se manejan los valores faltantes.
- Cómo se incrusta la serie para el conteo de cajas (por ejemplo, usando el gráfico en el plano tiempo-valor).
- El método de ajuste para pendientes (mínimos cuadrados ordinarios sobre valores log-log, ajuste robusto, etc.).
Estos no cambian el concepto subyacente, pero pueden desplazar la estimación final.
Evidencia o ejemplo: una plantilla de cálculo verificable de forma independiente
Debido a que no existe una “fórmula FDI” universal única para todas las herramientas, la forma más confiable de verificar es reproducir las matemáticas de la familia de estimación que pretende utilizar.
Aquí hay una plantilla autocontenida para un enfoque de estilo conteo de cajas (pasos conceptuales):
- Tome una ventana de datos ({x_1, x_2, \dots, x_L}).
- Para varios tamaños de caja (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_k), superponga cajas en la representación gráfica tiempo-valor (tiempo en un eje, (x_t) en el otro).
- Calcule (N(\varepsilon_i)): el número de cajas necesarias para cubrir el gráfico dentro de la ventana.
- Ajuste (\log N(\varepsilon_i)) contra (\log (1/\varepsilon_i)) (equivalentemente contra (\log \varepsilon_i) con un cambio de signo).
- La pendiente de la línea ajustada da una estimación de la dimensión fractal (D), que es entonces a lo que corresponde su valor del “Índice de Dimensión Fractal”.
Para un enfoque de estilo rango reescalado, la verificación independiente es similar:
- Elija un conjunto de rezagos (\tau) (por ejemplo, valores pequeños a moderados por debajo de la longitud de la ventana).
- Calcule el estadístico de variabilidad elegido en cada (\tau).
- Ajuste una ley de escala en ejes log-log para estimar el exponente.
- Use el mapeo especificado desde ese exponente a (D).
Supuesto clave: la relación que está ajustando debe ser significativa sobre el rango de escala seleccionado. Si el ajuste se fuerza sobre escalas donde los datos no siguen una ley de potencia, la pendiente puede ser inestable.
Limitaciones y riesgos: dónde fallan o engañan los cálculos
1) Diferentes definiciones producen diferentes resultados
Debido a que las implementaciones pueden usar diferentes estimadores de dimensión fractal y diferentes elecciones de parámetros, dos números “FDI” pueden no ser directamente comparables. La reproducibilidad depende de igualar:
- la definición de entrada (precio vs rendimientos vs log-precio)
- la familia de estimación (conteo de cajas vs rango reescalado)
- la longitud de ventana y el rango de escala
- el método de ajuste
2) Muestras pequeñas y ajustes de escala inestables
La estimación de la dimensión fractal se basa en observar el comportamiento de escala a través de múltiples tamaños. Si usted:
- usa una ventana (L) demasiado corta,
- incluye muy pocos valores de (\varepsilon) o (\tau),
- o selecciona rangos de escala que no muestran una escala consistente, entonces la pendiente/exponente ajustado se vuelve ruidoso y puede variar sustancialmente con cambios menores.
3) No estacionariedad y cambios de régimen
Muchas series temporales cambian su comportamiento estadístico con el tiempo. Si el proceso subyacente cambia (por ejemplo, agrupamiento de volatilidad o cambios estructurales), entonces el comportamiento de escala dentro de una ventana fija puede no representar el contexto más amplio. Eso afecta la interpretabilidad de la estimación de dimensión resultante.
4) Problemas prácticos de datos
Problemas comunes que distorsionan la estimación:
- ruido de medición pesado en relación con la escala de la señal
- valores atípicos que dominan el estadístico de variabilidad
- datos faltantes o espaciados de manera irregular
- preprocesamiento inconsistente entre ejecuciones
5) Interpretando el número
Incluso cuando el cálculo es correcto, la salida es descriptiva, no predictiva. La misma medida de “rugosidad” puede ocurrir bajo diferentes mecanismos.