Resposta direta
A correlação de pares (frequentemente referindo-se à correlação entre duas séries de retornos) é uma medida numérica de como duas variáveis tendem a se mover juntas. Na prática, você calcula um coeficiente de correlação a partir de um conjunto de observações pareadas (por exemplo, retornos de dois pares de moedas) coletadas nas mesmas datas e intervalos. Um exemplo prático esclarece as etapas, mas o cálculo sempre depende de premissas como a janela de tempo, como os retornos são definidos e quais regras de limpeza de dados são usadas.
Mecanismo e definição (o que você realmente calcula)
Para calcular um exemplo prático de correlação de pares, você precisa de duas séries de números de igual comprimento:
- Série A: X₁, X₂, …, Xₙ (frequentemente retornos do instrumento A)
- Série B: Y₁, Y₂, …, Yₙ (frequentemente retornos do instrumento B)
Uma escolha comum é o coeficiente de correlação de Pearson, definido como a covariância padronizada de A e B:
corr(A,B) = Σ[(Xᵢ − média(X)) (Yᵢ − média(Y))] / [ (n−1) × desvio(X) × desvio(Y) ]
Onde:
- média(X) é a média aritmética de Xᵢ
- desvio(X) é o desvio padrão amostral de Xᵢ (similarmente para Y)
Interpretação (geral):
- corr ≈ +1: eles se movem juntos na mesma direção
- corr ≈ −1: eles tendem a se mover em direções opostas
- corr ≈ 0: nenhuma relação linear é evidente na amostra
Evidência prática: um cenário numérico totalmente transparente
Assuma que você já converteu os dados de preço em retornos usando uma regra específica e escolheu uma janela de 5 períodos. Para manter o exemplo concreto, use estas séries de retornos (premissa: elas estão sincronizadas por data e intervalo):
- Retornos de X (instrumento A): [0.01, 0.02, −0.01, 0.00, 0.01]
- Retornos de Y (instrumento B): [0.005, 0.015, −0.005, 0.002, 0.008]
Premissas para este exemplo prático:
- Os retornos já estão calculados (não definimos a fórmula de preço para retorno aqui).
- Ambas as séries são medidas nos mesmos cinco timestamps.
- Usamos a correlação de Pearson com desvios padrão amostrais (o denominador usa n−1).
- Não existem observações ausentes em nenhuma das séries.
Etapa 1: Calcular as médias. média(X) = (0.01+0.02−0.01+0.00+0.01)/5 = 0.006 média(Y) = (0.005+0.015−0.005+0.002+0.008)/5 = 0.005
Etapa 2: Calcular os desvios e os produtos. Para cada i:
- i1: (X−média) = 0.004; (Y−média) = 0.000 → produto = 0
- i2: (X−média) = 0.014; (Y−média) = 0.010 → produto = 0.00014
- i3: (X−média) = −0.016; (Y−média) = −0.010 → produto = 0.00016
- i4: (X−média) = −0.006; (Y−média) = −0.003 → produto = 0.000018
- i5: (X−média) = 0.004; (Y−média) = 0.003 → produto = 0.000012
Soma dos produtos = 0 + 0.00014 + 0.00016 + 0.000018 + 0.000012 = 0.00033
Etapa 3: Calcular os desvios padrão amostrais. desvio(X) = raiz( Σ(X−média)² / (n−1) )
- Σ(X−média)² = 0.004² + 0.014² + (−0.016)² + (−0.006)² + 0.004² = 0.000016 + 0.000196 + 0.000256 + 0.000036 + 0.000016 = 0.00052 Portanto, desvio(X) = raiz(0.00052 / 4) = raiz(0.00013) ≈ 0.01140
desvio(Y) = raiz( Σ(Y−média)² / (n−1) )
- Σ(Y−média)² = 0.000² + 0.010² + (−0.010)² + (−0.003)² + 0.003² = 0 + 0.0001 + 0.0001 + 0.000009 + 0.000009 = 0.000218 Portanto, desvio(Y) = raiz(0.000218 / 4) = raiz(0.0000545) ≈ 0.00738
Etapa 4: Calcular a correlação. Usando a fórmula com (n−1): Cov(A,B) (amostral) = 0.00033 / (n−1) = 0.00033 / 4 = 0.0000825 corr(X,Y) = Cov / (desvio(X)×desvio(Y)) corr ≈ 0.0000825 / (0.01140 × 0.00738) Denominador ≈ 0.0000841 corr ≈ 0.98
Portanto, neste cenário específico (com todas as premissas declaradas), a correlação de pares é próxima de +1, o que significa que as duas séries de retornos estão fortemente positivamente relacionadas linearmente ao longo dos cinco períodos.
Limitações e riscos (o que a correlação pode deixar de capturar)
- Instabilidade ao longo do tempo: a correlação calculada a partir de uma janela curta ou específica pode diferir substancialmente se você mudar o período de tempo ou o intervalo de amostragem. Mesmo que as duas séries pareçam correlacionadas no passado, a relação pode enfraquecer ou se inverter. 2) Sensibilidade à definição exata de retornos: diferentes fórmulas de retorno ou o tratamento de outliers podem alterar Xᵢ e Yᵢ, o que muda a correlação calculada.