Przykład obliczeniowy korelacji par walutowych (z założeniami)

Bezpośrednia odpowiedź

Korelacja par walutowych (często odnosząca się do korelacji między dwiema seriami stóp zwrotu) jest liczbową miarą tego, jak dwie zmienne mają tendencję do poruszania się razem. W praktyce oblicza się współczynnik korelacji na podstawie zbioru sparowanych obserwacji (na przykład stóp zwrotu dwóch par walutowych) zebranych w tych samych datach i interwałach. Przykład obliczeniowy wyjaśnia kroki, ale obliczenie zawsze zależy od założeń, takich jak okno czasowe, sposób definiowania stóp zwrotu i stosowane zasady czyszczenia danych.

Mechanizm i definicja (co dokładnie obliczasz)

Aby obliczyć przykład korelacji par walutowych, potrzebujesz dwóch serii liczb o równej długości:

• Seria A: X₁, X₂, …, Xₙ (często stopy zwrotu instrumentu A)
• Seria B: Y₁, Y₂, …, Yₙ (często stopy zwrotu instrumentu B)

Częstym wyborem jest współczynnik korelacji Pearsona, zdefiniowany jako standaryzowana kowariancja A i B:

corr(A,B) = Σ[(Xᵢ − średnia(X)) (Yᵢ − średnia(Y))] / [ (n−1) × odch.std(X) × odch.std(Y) ]

Gdzie:

• średnia(X) to średnia arytmetyczna Xᵢ
• odch.std(X) to odchylenie standardowe próbki Xᵢ (analogicznie dla Y)

Interpretacja (ogólna):

• corr ≈ +1: zmienne poruszają się razem w tym samym kierunku
• corr ≈ −1: zmienne mają tendencję do poruszania się w przeciwnych kierunkach
• corr ≈ 0: brak widocznej liniowej zależności w próbie

Przykład obliczeniowy: w pełni przejrzysty scenariusz liczbowy

Załóżmy, że przeliczyłeś już dane cenowe na stopy zwrotu przy użyciu określonej reguły i wybrałeś 5-okresowe okno czasowe. Aby przykład był konkretny, użyj następujących serii stóp zwrotu (założenie: są zsynchronizowane według daty i interwału):

• Stopy zwrotu X (instrument A): [0.01, 0.02, −0.01, 0.00, 0.01]
• Stopy zwrotu Y (instrument B): [0.005, 0.015, −0.005, 0.002, 0.008]

Założenia dla tego przykładu obliczeniowego:

1. Stopy zwrotu są już obliczone (nie definiujemy tutaj wzoru na przeliczenie ceny na stopę zwrotu).
2. Obie serie są mierzone w tych samych pięciu punktach czasowych.
3. Używamy korelacji Pearsona z odchyleniami standardowymi próbki (w mianowniku używamy n−1).
4. W żadnej z serii nie ma brakujących obserwacji.

Krok 1: Oblicz średnie. średnia(X) = (0.01+0.02−0.01+0.00+0.01)/5 = 0.006 średnia(Y) = (0.005+0.015−0.005+0.002+0.008)/5 = 0.005

Krok 2: Oblicz odchylenia i iloczyny. Dla każdego i:

• i1: (X−średnia) = 0.004; (Y−średnia) = 0.000 → iloczyn = 0
• i2: (X−średnia) = 0.014; (Y−średnia) = 0.010 → iloczyn = 0.00014
• i3: (X−średnia) = −0.016; (Y−średnia) = −0.010 → iloczyn = 0.00016
• i4: (X−średnia) = −0.006; (Y−średnia) = −0.003 → iloczyn = 0.000018
• i5: (X−średnia) = 0.004; (Y−średnia) = 0.003 → iloczyn = 0.000012

Suma iloczynów = 0 + 0.00014 + 0.00016 + 0.000018 + 0.000012 = 0.00033

Krok 3: Oblicz odchylenia standardowe próbki. odch.std(X) = sqrt( Σ(X−średnia)² / (n−1) )

• Σ(X−średnia)² = 0.004² + 0.014² + (−0.016)² + (−0.006)² + 0.004² = 0.000016 + 0.000196 + 0.000256 + 0.000036 + 0.000016 = 0.00052 Zatem odch.std(X) = sqrt(0.00052 / 4) = sqrt(0.00013) ≈ 0.01140

odch.std(Y) = sqrt( Σ(Y−średnia)² / (n−1) )

• Σ(Y−średnia)² = 0.000² + 0.010² + (−0.010)² + (−0.003)² + 0.003² = 0 + 0.0001 + 0.0001 + 0.000009 + 0.000009 = 0.000218 Zatem odch.std(Y) = sqrt(0.000218 / 4) = sqrt(0.0000545) ≈ 0.00738

Krok 4: Oblicz korelację. Używając wzoru z (n−1): Kow(A,B) (próbkowa) = 0.00033 / (n−1) = 0.00033 / 4 = 0.0000825 corr(X,Y) = Kow / (odch.std(X)×odch.std(Y)) corr ≈ 0.0000825 / (0.01140 × 0.00738) Mianownik ≈ 0.0000841 corr ≈ 0.98

Zatem w tym konkretnym scenariuszu (przy wszystkich podanych założeniach) korelacja par walutowych jest bliska +1, co oznacza, że obie serie stóp zwrotu są silnie dodatnio liniowo powiązane w ciągu pięciu okresów.

Ograniczenia i ryzyka (czego korelacja może nie uchwycić)

1. Niestabilność w czasie: korelacja obliczona dla krótkiego lub konkretnego okna czasowego może się znacznie różnić, jeśli zmienisz okres lub interwał próbkowania. Nawet jeśli dwie serie wydają się skorelowane w przeszłości, zależność może osłabnąć lub odwrócić się. 2) Wrażliwość na dokładną definicję stóp zwrotu: różne wzory na stopy zwrotu lub sposób obsługi wartości odstających mogą zmienić Xᵢ i Yᵢ, co zmienia obliczoną korelację.