Bezpośrednia odpowiedź
Korelacja par (często odnosząca się do korelacji między dwoma seriami stóp zwrotu) to liczbowy wskaźnik tego, jak dwie zmienne mają tendencję poruszać się razem. W praktyce wyliczasz współczynnik korelacji na podstawie zestawu dopasowanych obserwacji (na przykład stóp zwrotu dwóch par walutowych) zebranych w tych samych datach i interwałach. Przykład z wyliczeniem pokazuje kroki, ale obliczenia zawsze zależą od założeń, takich jak okno czasowe, sposób definiowania stóp zwrotu oraz reguły czyszczenia danych.
Mechanizm i definicja (co tak naprawdę liczysz)
Aby policzyć przykład z wyliczeniem korelacji par, potrzebujesz dwóch serii liczb o równej długości:
- Seria A: X₁, X₂, …, Xₙ (często stopy zwrotu dla instrumentu A)
- Seria B: Y₁, Y₂, …, Yₙ (często stopy zwrotu dla instrumentu B)
Częstym wyborem jest współczynnik korelacji Pearsona, zdefiniowany jako standaryzowana kowariancja A i B:
corr(A,B) = Σ[(Xᵢ − mean(X)) (Yᵢ − mean(Y))] / [ (n−1) × std(X) × std(Y) ]
Gdzie:
- mean(X) to średnia arytmetyczna Xᵢ
- std(X) to odchylenie standardowe próby Xᵢ (analogicznie dla Y)
Interpretacja (ogólnie):
- corr ≈ +1: poruszają się razem w tym samym kierunku
- corr ≈ −1: zwykle poruszają się w przeciwnych kierunkach
- corr ≈ 0: z próby nie widać zależności liniowej
Dowód z wyliczeniem: w pełni przejrzysty scenariusz liczbowy
Załóż, że przeliczyłeś dane cenowe na stopy zwrotu według konkretnej reguły i wybierasz okno 5-okresowe. Aby przykład był konkretny, użyj tych serii stóp zwrotu (założenie: są zsynchronizowane według daty i interwału):
- X stopy zwrotu (instrument A): [0.01, 0.02, −0.01, 0.00, 0.01]
- Y stopy zwrotu (instrument B): [0.005, 0.015, −0.005, 0.002, 0.008]
Założenia dla tego przykładu z wyliczeniem:
- Stopy zwrotu są już policzone (nie definiujemy tutaj wzoru cena→stopa zwrotu).
- Obie serie są mierzone w tych samych pięciu znacznikach czasu.
- Używamy korelacji Pearsona z odchyleniami standardowymi próby (w mianowniku jest n−1).
- Nie ma brakujących obserwacji w żadnej z dwóch serii.
Krok 1: Oblicz średnie. mean(X) = (0.01+0.02−0.01+0.00+0.01)/5 = 0.006 mean(Y) = (0.005+0.015−0.005+0.002+0.008)/5 = 0.005
Krok 2: Oblicz odchylenia i iloczyny. Dla każdego i:
- i1: (X−mean) = 0.004; (Y−mean) = 0.000 → iloczyn = 0
- i2: (X−mean) = 0.014; (Y−mean) = 0.010 → iloczyn = 0.00014
- i3: (X−mean) = −0.016; (Y−mean) = −0.010 → iloczyn = 0.00016
- i4: (X−mean) = −0.006; (Y−mean) = −0.003 → iloczyn = 0.000018
- i5: (X−mean) = 0.004; (Y−mean) = 0.003 → iloczyn = 0.000012
Suma iloczynów = 0 + 0.00014 + 0.00016 + 0.000018 + 0.000012 = 0.00033
Krok 3: Oblicz odchylenia standardowe próby. std(X) = sqrt( Σ(X−mean)² / (n−1) )
- Σ(X−mean)² = 0.004² + 0.014² + (−0.016)² + (−0.006)² + 0.004² = 0.000016 + 0.000196 + 0.000256 + 0.000036 + 0.000016 = 0.00052 Zatem std(X) = sqrt(0.00052 / 4) = sqrt(0.00013) ≈ 0.01140
std(Y) = sqrt( Σ(Y−mean)² / (n−1) )
- Σ(Y−mean)² = 0.000² + 0.010² + (−0.010)² + (−0.003)² + 0.003² = 0 + 0.0001 + 0.0001 + 0.000009 + 0.000009 = 0.000218 Zatem std(Y) = sqrt(0.000218 / 4) = sqrt(0.0000545) ≈ 0.00738
Krok 4: Oblicz korelację. Stosując wzór z (n−1): Cov(A,B) (próba) = 0.00033 / (n−1) = 0.00033 / 4 = 0.0000825 corr(X,Y) = Cov / (std(X)×std(Y)) corr ≈ 0.0000825 / (0.01140 × 0.00738) Mianownik ≈ 0.0000841 corr ≈ 0.98
Zatem w tym konkretnym scenariuszu (przy wszystkich podanych założeniach) korelacja par jest bliska +1, co oznacza, że obie serie stóp zwrotu są silnie dodatnio powiązane liniowo w ciągu pięciu okresów.
Ograniczenia i ryzyka (czego korelacja może nie uchwycić)
- Niestabilność w czasie: korelacja policzona z krótkiego lub konkretnego okna może znacząco się różnić, jeśli zmienisz okres lub interwał próbkowania. Nawet jeśli obie serie wyglądają na skorelowane w przeszłości, relacja może osłabnąć lub odwrócić się. 2) Wrażliwość na dokładną definicję stóp zwrotu: różne wzory na stopy zwrotu lub sposób obsługi obserwacji odstających mogą zmienić Xᵢ i Yᵢ, a to zmienia wyliczoną korelację.