ペア相関のワークド例（前提を用いて説明）
直接の答え
ペア相関（多くの場合、2つのリターン系列間の相関を指します）は、2つの変数がどれだけ一緒に動く傾向があるかを数値で表す指標です。実務では、同じ日付と同じインターバルで収集した一組の対応する観測値（たとえば2つの通貨ペアのリターン）から相関係数を計算します。ワークド例は手順を明確にしますが、計算は常に、時間窓、リターンの定義方法、データのクリーニング規則といった前提に依存します。
メカニズムと定義（実際に計算するもの）
ペア相関のワークド例を計算するには、同じ長さの数値系列が2つ必要です：
- 系列A：X₁, X₂, …, Xₙ（多くの場合、銘柄Aのリターン）
- 系列B：Y₁, Y₂, …, Yₙ（多くの場合、銘柄Bのリターン）
よくある選択肢は、AとBの標準化された共分散として定義されるピアソン相関係数です：
corr(A,B) = Σ[(Xᵢ − mean(X)) (Yᵢ − mean(Y))] / [ (n−1) × std(X) × std(Y) ]
ここで：
- mean(X) は Xᵢ の算術平均
- std(X) は Xᵢ の標本標準偏差（同様にYについても）
解釈（一般）：
- corr ≈ +1：同じ方向に一緒に動く
- corr ≈ −1：反対方向に動く傾向がある
- corr ≈ 0：標本からは線形の関係が見られない
ワークドな証拠：完全に透明な数値シナリオ
前提として、価格データを特定のルールでリターンに変換済みで、5期間のウィンドウを選ぶとします。例を具体的にするため、次のリターン系列を使います（前提：日付とインターバルで同期されている）：
- Xのリターン（銘柄A）：[0.01, 0.02, −0.01, 0.00, 0.01]
- Yのリターン（銘柄B）：[0.005, 0.015, −0.005, 0.002, 0.008]
このワークド例の前提：
- リターンはすでに計算済みです（ここでは価格からリターンへの式は定義しません）。
- 両系列は同じ5つのタイムスタンプで測定されています。
- 標本標準偏差を用います（分母は n−1 を使います）。
- どちらの系列にも欠損観測はありません。
ステップ1：平均を計算。 mean(X) = (0.01+0.02−0.01+0.00+0.01)/5 = 0.006 mean(Y) = (0.005+0.015−0.005+0.002+0.008)/5 = 0.005
ステップ2：偏差と積を計算。 各iについて：
- i1: (X−mean) = 0.004; (Y−mean) = 0.000 → 積 = 0
- i2: (X−mean) = 0.014; (Y−mean) = 0.010 → 積 = 0.00014
- i3: (X−mean) = −0.016; (Y−mean) = −0.010 → 積 = 0.00016
- i4: (X−mean) = −0.006; (Y−mean) = −0.003 → 積 = 0.000018
- i5: (X−mean) = 0.004; (Y−mean) = 0.003 → 積 = 0.000012
積の合計 = 0 + 0.00014 + 0.00016 + 0.000018 + 0.000012 = 0.00033
ステップ3：標本標準偏差を計算。 std(X) = sqrt( Σ(X−mean)² / (n−1) )
- Σ(X−mean)² = 0.004² + 0.014² + (−0.016)² + (−0.006)² + 0.004² = 0.000016 + 0.000196 + 0.000256 + 0.000036 + 0.000016 = 0.00052 よって std(X) = sqrt(0.00052 / 4) = sqrt(0.00013) ≈ 0.01140
std(Y) = sqrt( Σ(Y−mean)² / (n−1) )
- Σ(Y−mean)² = 0.000² + 0.010² + (−0.010)² + (−0.003)² + 0.003² = 0 + 0.0001 + 0.0001 + 0.000009 + 0.000009 = 0.000218 よって std(Y) = sqrt(0.000218 / 4) = sqrt(0.0000545) ≈ 0.00738
ステップ4：相関を計算。 (n−1) を使う式より： Cov(A,B)（標本） = 0.00033 / (n−1) = 0.00033 / 4 = 0.0000825 corr(X,Y) = Cov / (std(X)×std(Y)) corr ≈ 0.0000825 / (0.01140 × 0.00738) 分母 ≈ 0.0000841 corr ≈ 0.98
したがって、この特定のシナリオ（すべての明示された前提のもと）では、ペア相関は +1 に近く、つまり2つのリターン系列は5期間にわたって強い正の線形関係を持つことを意味します。
限界とリスク（相関が捉えられないもの）
- 時間に対する不安定さ：短い、または特定のウィンドウから計算した相関は、時間の期間やサンプリング間隔を変えると大きく異なる可能性があります。過去に2つの系列が相関して見えても、その関係は弱まったり反転したりし得ます。2) リターンの厳密な定義への感度：異なるリターンの計算式や外れ値の扱いによって Xᵢ と Yᵢ が変わり、それが計算された相関を変えます。