Come si calcola l’Indice Ulcer?
Risposta diretta
L’Indice Ulcer si calcola misurando di quanto un prezzo (o livello di un indice) scende rispetto al suo massimo mobile in un determinato periodo di riferimento, quindi combinando questi drawdown in un singolo valore. Nella sua forma più comune, si elevano al quadrato le percentuali di drawdown, si fa la media e si estrae la radice quadrata.
Meccanismo o definizione
1) Scegliere la serie di input e la finestra temporale
Partire da una serie temporale di una variabile di livello — comunemente un prezzo di chiusura o un livello di indice — campionata a una frequenza fissa (ad esempio, barre giornaliere, settimanali o intraday). Scegliere un periodo di riferimento con N osservazioni.
2) Calcolare il massimo mobile (valore più alto finora)
Per ogni istante t all’interno della finestra, calcolare il massimo mobile del livello fino a quel punto:
- (\text{Peak}_t = \max(\text{Level}_1, \text{Level}_2, \dots, \text{Level}_t))
Questo massimo mobile è il riferimento usato per definire il drawdown.
3) Calcolare i drawdown come percentuali (o cali relativi)
Per ogni t, calcolare l’entità del drawdown come frazione del massimo mobile:
- (\text{DD}_t = \frac{\text{Level}_t - \text{Peak}_t}{\text{Peak}_t})
Questo valore è 0 quando il livello corrente è uguale al massimo e negativo durante i cali. Molte spiegazioni usano l’entità assoluta del calo, quindi è comune lavorare con ( -\text{DD}_t) (un numero non negativo) quando si eleva al quadrato.
4) Applicare la formula dell’Indice Ulcer
Una formulazione ampiamente utilizzata è:
- (\text{Ulcer Index} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}(\text{DD}_t)^2})
Poiché si eleva al quadrato (\text{DD}_t), il calcolo considera tutti i drawdown in base alla loro entità, indipendentemente dal fatto che si verifichino in fase di salita o discesa. Infine, estrarre la radice quadrata riporta il risultato alle unità originali simili a “percentuale”.
5) Interpretazione di ciò che il numero riassume
L’Indice Ulcer condensa un percorso di drawdown in un’unica misura, simile alla volatilità, focalizzata sulla profondità al ribasso. Valori più alti corrispondono a drawdown più profondi e/o più persistenti all’interno della finestra selezionata.
Evidenza o esempio
Di seguito è riportato un piccolo esempio autocontenuto con livelli inventati per mostrare i passaggi del calcolo.
Si supponga N = 4 osservazioni con i seguenti livelli:
- (L = [100, 95, 90, 97])
Passo A: massimi mobili
- t1: Massimo = 100
- t2: Massimo = 100
- t3: Massimo = 100
- t4: Massimo = 100
Passo B: drawdown (frazioni)
- t1: DD = (100−100)/100 = 0
- t2: DD = (95−100)/100 = −0.05
- t3: DD = (90−100)/100 = −0.10
- t4: DD = (97−100)/100 = −0.03
Passo C: elevare al quadrato, fare la media, estrarre la radice quadrata
- Quadrati: [0, 0.0025, 0.01, 0.0009]
- Media: ( (0 + 0.0025 + 0.01 + 0.0009)/4 = 0.0036)
- Indice Ulcer: (\sqrt{0.0036} = 0.06)
In questo esempio semplificato, l’Indice Ulcer è pari a 0.06, il che corrisponde a un livello di “entità media quadratica del drawdown” del 6% quando espresso nelle stesse unità dei drawdown utilizzati. Si noti che questo è un’esemplificazione del meccanismo; dati reali e diverse scelte della finestra modificano il risultato.
Limitazioni e rischi
1) Il risultato dipende dalla finestra e dal riferimento scelti
L’Indice Ulcer non è universale per tutte le impostazioni: è necessario definire la lunghezza della finestra N e la serie di livelli usata per costruire il massimo mobile. Scelte diverse producono valori diversi dell’Indice Ulcer anche per lo stesso strumento sottostante.
2) Effetti della frequenza dei dati e del campionamento
Se si calcola l’Indice Ulcer con diverse frequenze di barre (giornaliere vs orarie) o con diverse modalità di gestione dei dati mancanti, i drawdown rilevati possono cambiare. Poiché i drawdown dipendono dal percorso (massimo mobile), il campionamento può sottostimare o sovrastimare i veri cali massimi.
3) Riassume la forma del drawdown, non la direzione o la qualità del recupero
L’Indice Ulcer si concentra su quanto siano profondi i cali rispetto ai massimi precedenti. Non tiene conto del fatto che il prezzo torni successivamente rapidamente o lentamente, se non nella misura in cui cali più lunghi contribuiscono con più osservazioni di drawdown all’interno della finestra.
4) Punto debole: forte dipendenza da outlier e dal timing dei massimi
Poiché il calcolo utilizza i drawdown elevati al quadrato, cali insolitamente ampi possono dominare il risultato. Inoltre, il timing dei massimi è cruciale: un nuovo massimo anche breve azzera il massimo mobile, modificando le entità successive dei drawdown.
5) Nessuna garanzia di performance future
L’Indice Ulcer descrive il comportamento storico dei drawdown in un determinato periodo. Le misure storiche di drawdown non garantiscono che i risultati futuri saranno simili, né tengono conto di costi di transazione, slippage, effetti di esecuzione o vincoli esterni.
Verifica o prossima domanda
Per verificare in modo indipendente un valore dichiarato dell’Indice Ulcer, sono necessari gli stessi elementi usati nel calcolo: (1) la serie esatta di livelli, (2) la frequenza di campionamento, (3) la lunghezza della finestra N, (4) il metodo del massimo mobile e (5) la convenzione esatta della formula (in particolare se i drawdown sono calcolati come ((Level-Peak)/Peak) ed elevati direttamente al quadrato).
Un controllo utile successivo è calcolare l’Indice Ulcer con due definizioni ragionevoli ma esplicite — ad esempio usando i livelli di chiusura rispetto a un’altra definizione di livello — e confrontare quanto i risultati siano sensibili a tali scelte. Questa analisi di sensibilità mostra se il numero è robusto o dominato da specifiche assunzioni nella gestione dei dati.