Cos’è un Esempio Pratico di R Quadrato?

Risposta diretta

Un esempio pratico di R quadrato (R²) parte da un piccolo insieme di dati, calcola i valori predetti dal modello, quindi confronta due quantità: (1) la variazione spiegata dal modello e (2) la variazione totale nei risultati osservati. R² è il rapporto tra variazione spiegata e variazione totale, definito come

R² = 1 − (SSres / SStot)

dove SSres è la somma dei quadrati dei residui e SStot è la somma totale dei quadrati rispetto alla media.

Di seguito è riportato un esempio completamente numerico. Non presuppone alcun dato di mercato in tempo reale.

Meccanismo o definizione

Per rendere esplicito il calcolo, definiamo una variabile dipendente y (valori osservati) e un insieme di previsioni del modello ŷ per gli stessi punti temporali.

1. Calcolare la media dei valori osservati: ȳ = media(y).
2. Calcolare la somma totale dei quadrati (SStot): SStot = Σ(yi − ȳ)²
3. Calcolare i residui e la somma dei quadrati dei residui (SSres): SSres = Σ(yi − ŷi)²
4. Convertire in R²: R² = 1 − SSres / SStot

Interpretazione semplice: R² aumenta quando le previsioni del modello si mantengono vicine ai valori osservati (residui piccoli) rispetto alla dispersione dei dati attorno alla loro media (grande variazione totale).

Evidenza o esempio

Supponiamo di avere 4 risultati osservati y e un semplice insieme di previsioni ŷ prodotte da un modello.

Sia:

• y = [2, 0, 4, 6]
• ŷ = [2, 1, 3, 5]

Assunzioni:

• Le previsioni ŷ corrispondono agli stessi quattro casi di y.
• Stiamo utilizzando la definizione standard di R² basata sulla varianza spiegata.
• Non sono inclusi costi, effetti di esecuzione o comportamenti futuri; si tratta esclusivamente di un riassunto aritmetico dell’adattamento a questi quattro punti.

Passo 1: Media di y ȳ = (2 + 0 + 4 + 6) / 4 = 12/4 = 3

Passo 2: Somma totale dei quadrati (SStot)

• (2 − 3)² = 1
• (0 − 3)² = 9
• (4 − 3)² = 1
• (6 − 3)² = 9 Quindi SStot = 1 + 9 + 1 + 9 = 20

Passo 3: Residui e SSres Residui (yi − ŷi):

• 2 − 2 = 0 → quadrato: 0
• 0 − 1 = −1 → quadrato: 1
• 4 − 3 = 1 → quadrato: 1
• 6 − 5 = 1 → quadrato: 1 Quindi SSres = 0 + 1 + 1 + 1 = 3

Passo 4: Calcolo di R² R² = 1 − SSres / SStot = 1 − 3/20 = 17/20 = 0,85

Risultato: Per questo insieme di dati e queste previsioni, R² = 0,85. Ciò significa che l’errore residuo è molto più piccolo della variabilità di y attorno alla sua media.

Limitazioni e rischi

1. R² non implica causalità. Un valore alto di R² può verificarsi anche se il modello cattura schemi senza spiegarne il motivo.
2. R² dipende dalla scelta di y e dal modo in cui ŷ viene prodotto. Se si modifica la forma del modello, i dati di addestramento o la pre-elaborazione, R² può cambiare.
3. Rischio di overfitting: un modello può adattarsi strettamente ai dati storici (alto R² in-sample) ma generalizzare male. Le relazioni storiche non garantiscono risultati futuri.
4. Sensibilità al dataset: se SStot è piccolo (i valori di y si concentrano vicino alla media), R² può diventare instabile o fuorviante.
5. Problemi con dati fuori dal campione: R² calcolato su nuovi dati può essere molto più basso rispetto ai valori in-sample perché i residui tendono ad aumentare quando la relazione cambia.

Verifica o prossima domanda

È possibile verificare autonomamente qualsiasi valore di R² ricreando i tre elementi: ȳ, SStot e SSres utilizzando gli stessi valori osservati y e le stesse previsioni ŷ. Se si desidera approfondire, una domanda utile successiva è come si comporta R² quando le previsioni provengono da finestre diverse, da diverse scale o da diverse scelte di modello—soprattutto quando le relazioni non sono stabili nel tempo.