Come si Calcola l’Indice di Dimensione Frattale?
Risposta diretta: cosa si calcola e come
L’Indice di Dimensione Frattale (spesso abbreviato in un indicatore in stile “FDI”) si calcola stimando la dimensione frattale di una sequenza (comunemente una serie temporale di prezzi o rendimenti). La stima produce un numero che riflette quanto i dati appaiono “irregolari” o “autosimili su diverse scale”, in base a come i conteggi o la variabilità cambiano esaminando scale più piccole e più grandi.
Non esiste una singola formula universale valida per ogni prodotto o pacchetto grafico. Nella pratica, il calcolo segue una delle poche famiglie comuni di stima (ad esempio, la scala in stile conteggio delle scatole o la scala del range riscalato). Quello che rimane costante tra le diverse implementazioni è la necessità di: (1) una serie temporale in ingresso, (2) una lunghezza della finestra o dimensione del campione, e (3) scelte di scala che determinano quali “dimensioni” si confrontano.
Meccanismo o definizione: le parti in gioco
1) Scegliere la serie temporale in ingresso
Si parte da una sequenza ({x_t}). In contesti legati al trading, (x_t) può essere:
- Una serie di prezzi grezzi (\text{price}_t)
- Una serie di log-prezzi (\log(\text{price}_t))
- Rendimenti, come (r_t = \log(\text{price}t/\text{price}{t-1}))
Metodi diversi interpretano la “ruvidezza” in modi diversi, quindi è importante quale (x_t) si utilizza. Se l’obiettivo è verificare i calcoli, il primo passo è confermare quale trasformazione (prezzo vs. rendimenti vs. log-prezzo) assume la definizione.
2) Decidere sulla famiglia di stima
Due modi ampiamente utilizzati per stimare la dimensione frattale da dati di serie temporali sono:
A) Stile conteggio delle scatole (scala dei conteggi)
- Si sovrappone una griglia di dimensioni delle scatole a una rappresentazione della serie.
- Per ogni dimensione di scatola (\varepsilon), si conta quante scatole (N(\varepsilon)) sono necessarie per coprire il grafico (o un embedding correlato).
- Si adatta una relazione del tipo (N(\varepsilon) \propto \varepsilon^{-D}), il che implica che (D) può essere stimato dalla pendenza di un grafico log-log.
Un tipico passaggio di stima è: [ \log N(\varepsilon) = a - D,\log \varepsilon ] Quindi (D) si ottiene dalla pendenza quando si adatta (\log N(\varepsilon)) rispetto a (\log \varepsilon).
B) Stile range riscalato (scala della variabilità su diversi ritardi)
- Si calcola una misura di variabilità su diverse dimensioni di ritardo (\tau) (ad esempio, range o fluttuazioni aggregate).
- Si esamina come tale variabilità scala con (\tau).
- La stima della dimensione frattale è derivata da un esponente ottenuto adattando una legge di potenza.
Una versione generica è: [ \text{variabilità}(\tau) \propto \tau^{H} ] e quindi (D) è mappata da (H) usando una relazione specifica per le assunzioni del modello. La mappatura deve essere indicata esattamente per riprodurre i risultati.
3) Lunghezza della finestra e intervallo di scala (i parametri che cambiano il numero)
La maggior parte delle implementazioni di indicatori viene calcolata su base mobile:
- Lunghezza della finestra (L): quanti punti consecutivi vengono utilizzati a ogni passo temporale.
- Intervallo di scala: quali (\varepsilon) (dimensioni delle scatole) o (\tau) (ritardi) vengono considerati.
- Numero minimo di scale: quante dimensioni distinte si includono per adattare una linea su un grafico log-log.
Se si modifica (L) o l’intervallo di scala, la pendenza/esponente stimato può cambiare. Questo è uno dei motivi per cui non si dovrebbero confrontare valori tra diverse piattaforme senza confermare lo stesso metodo e le stesse impostazioni sottostanti.
4) Preprocessing e dettagli numerici
Anche quando si sceglie lo stesso metodo generale, i risultati dipendono da scelte implementative come:
- Se si rimuove il trend o si normalizza la serie.
- Come si gestiscono i valori mancanti.
- Come si incorpora la serie per il conteggio delle scatole (ad esempio, usando il grafico nel piano tempo-valore).
- Il metodo di adattamento per le pendenze (minimi quadrati ordinari sui valori log-log, adattamento robusto, ecc.).
Questi non cambiano il concetto sottostante, ma possono spostare la stima finale.
Evidenza o esempio: un modello di calcolo verificabile in modo indipendente
Poiché non esiste una singola “formula FDI” universale per tutti gli strumenti, il modo più affidabile per verificare è riprodurre la matematica della famiglia di stima che si intende utilizzare.
Ecco un modello autosufficiente per un approccio in stile conteggio delle scatole (passaggi concettuali):
- Prendere una finestra di dati ({x_1, x_2, \dots, x_L}).
- Per diverse dimensioni di scatole (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_k), sovrapporre scatole alla rappresentazione grafica della serie (tempo su un asse, (x_t) sull’altro).
- Calcolare (N(\varepsilon_i)): il numero di scatole necessarie per coprire il grafico all’interno della finestra.
- Adattare (\log N(\varepsilon_i)) rispetto a (\log (1/\varepsilon_i)) (equivalentemente rispetto a (\log \varepsilon_i) con un cambio di segno).
- La pendenza della linea adattata fornisce una stima della dimensione frattale (D), che corrisponde al valore del “Fractal Dimension Index”.
Per un approccio in stile range riscalato, il controllo indipendente è simile:
- Scegliere un insieme di ritardi (\tau) (ad esempio, valori piccoli a moderati inferiori alla lunghezza della finestra).
- Calcolare la statistica di variabilità scelta per ogni (\tau).
- Adattare una legge di scala su assi log-log per stimare l’esponente.
- Utilizzare la mappatura specificata da quell’esponente a (D).
Assunzione chiave: la relazione che si adatta deve essere significativa nell’intervallo di scala selezionato. Se l’adattamento è forzato su scale in cui i dati non seguono una legge di potenza, la pendenza può risultare instabile.
Limitazioni e rischi: dove i calcoli falliscono o fuorviano
1) Definizioni diverse producono risultati diversi
Poiché le implementazioni possono utilizzare diversi stimatori della dimensione frattale e diverse scelte di parametri, due numeri “FDI” potrebbero non essere direttamente comparabili. La riproducibilità dipende dal fatto di abbinare:
- la definizione dell’ingresso (prezzo vs. rendimenti vs. log-prezzo)
- la famiglia di stima (conteggio delle scatole vs. range riscalato)
- lunghezza della finestra e intervallo di scala
- il metodo di adattamento
2) Campioni piccoli e adattamenti di scala instabili
La stima della dimensione frattale si basa sull’osservazione del comportamento di scala su più dimensioni. Se:
- si utilizza una finestra (L) troppo corta,
- si includono troppo pochi valori di (\varepsilon) o (\tau),
- o si selezionano intervalli di scala che non mostrano una scala coerente, allora la pendenza/esponente stimato diventa rumoroso e può variare notevolmente con piccoli cambiamenti.
3) Non stazionarietà e cambiamenti di regime
Molte serie temporali cambiano il loro comportamento statistico nel tempo. Se il processo sottostante cambia (ad esempio, raggruppamento della volatilità o cambiamenti strutturali), allora il comportamento di scala all’interno di una finestra fissa potrebbe non rappresentare il contesto più ampio. Questo influisce sull’interpretabilità della stima risultante della dimensione.
4) Problemi pratici con i dati
Problemi comuni che distorcono la stima:
- rumore di misurazione elevato rispetto alla scala del segnale
- outlier che dominano la statistica di variabilità
- dati mancanti o irregolarmente spaziati
- preprocessing inconsistente tra le esecuzioni
5) Interpretazione del numero
Anche quando il calcolo è corretto, l’output è descrittivo, non predittivo. La stessa misura di “ruvidezza” può verificarsi sotto meccanismi diversi.