Come si calcola la WMA (Media Mobile Ponderata)

Risposta diretta: cos’è la WMA e come si calcola?

WMA di solito indica Media Mobile Ponderata. È una media mobile in cui alle osservazioni più recenti viene attribuita maggiore influenza (o, più in generale, a ciascuna osservazione viene assegnato un peso specifico). Il calcolo utilizza una finestra degli ultimi punti dati e produce un singolo valore medio.

La formula discreta standard è:

WMAₜ = ( Σᵢ₌₀^(n−1) [ wᵢ · x₍ₜ−i₎ ] ) / ( Σᵢ₌₀^(n−1) wᵢ )

Dove:

• t è l’indice/tempo corrente.
• n è la lunghezza della finestra (numero di punti passati utilizzati).
• x₍ₜ−i₎ sono i valori dei dati (ad esempio, i prezzi) ai tempi t, t−1, …, t−(n−1).
• wᵢ sono i pesi applicati a ciascuna posizione nella finestra.

In molte convenzioni grafiche, si scelgono pesi tali che w più grandi corrispondano a punti più recenti, ma la direzione esatta della ponderazione dipende da come si definisce i.

Meccanica: parametri, input ed esempio

1) Quali input sono necessari?

Per calcolare la WMA servono:

1. Una serie temporale: una sequenza di valori xₜ osservati a intervalli di tempo costanti.
2. Una dimensione della finestra n: numero di punti più recenti inclusi.
3. Una regola di ponderazione: un insieme di pesi w₀ … wₙ₋₁. I pesi sono spesso positivi, ma l’idea generale è: i pesi controllano l’influenza.

Un requisito fondamentale è che i pesi e la loro corrispondenza temporale siano chiari. Ad esempio, bisogna sapere se w₀ si applica al valore corrente xₜ o al valore più vecchio x₍ₜ−(n−1)₎.

2) Cosa distingue la WMA da una media mobile semplice?

Una media mobile semplice (SMA) tratta tutti i punti in modo uguale (tutti i pesi uguali). La WMA modifica la meccanica permettendo ai pesi di variare all’interno della finestra.

Questo significa che due calcoli WMA con lo stesso n possono produrre risultati diversi se si usano regole di ponderazione diverse.

3) Esempio numerico svolto (con ipotesi esplicite)

Supponiamo:

• Lunghezza della finestra n = 3
• Valori dei dati ai tempi t, t−1, t−2: xₜ = 10, x₍ₜ−1₎ = 12, x₍ₜ−2₎ = 14
• I pesi aumentano per i punti più recenti. Usando la formula sopra in cui w₀ moltiplica xₜ, scegliamo pesi w₀ = 3, w₁ = 2, w₂ = 1.

Calcoliamo la somma ponderata:

• Numeratore = (3·xₜ) + (2·x₍ₜ−1₎) + (1·x₍ₜ−2₎)
• Numeratore = (3·10) + (2·12) + (1·14)
• Numeratore = 30 + 24 + 14 = 68

Somma dei pesi:

• Denominatore = 3 + 2 + 1 = 6

Quindi:

• WMAₜ = 68 / 6 ≈ 11.33

Se si modificano i pesi (ad esempio, rendendoli più estremi), il risultato si avvicina ai punti con peso maggiore.

4) Chiarimento pratico comune: l’“average” richiede un denominatore

Alcune implementazioni normalizzano effettivamente i pesi (dividendo per il peso totale). La formula sopra fa questo esplicitamente usando Σwᵢ.

Se si omette la normalizzazione, il risultato è una somma ponderata piuttosto che una media. Questa distinzione è importante quando si confrontano valori WMA con diverse lunghezze di finestra o insiemi di pesi.

Limitazioni e modi di errore: cosa può andare storto

1) La scelta dei pesi cambia il comportamento

La WMA non è un calcolo fisso “unico e vero”. La lunghezza della finestra n e la regola di ponderazione wᵢ determinano l’output.

• Se i pesi sono troppo concentrati, la WMA può reagire fortemente al rumore a breve termine.
• Se i pesi sono troppo uniformi, si avvicina al comportamento SMA e può ritardare di più.

2) La frequenza dei dati e l’allineamento temporale sono importanti

La WMA presuppone che la sequenza sia allineata a intervalli di tempo costanti. Se i dati includono punti mancanti, campionamenti irregolari o si mescolano accidentalmente diverse risoluzioni temporali, gli indici t, t−1, … non rappresenteranno più intervalli di tempo uguali. Ciò può distorcere l’interpretazione della media mobile.

3) Effetti ai bordi: le prime finestre sono indefinite (o gestite diversamente)

Per tempi t minori di n−1, non ci sono abbastanza osservazioni passate per riempire la finestra. Le implementazioni gestiscono questo in modi diversi (ad esempio, non producendo alcun valore, usando una finestra efficace più piccola o ritardando l’inizio). Pertanto, per riprodurre i risultati, è necessario seguire la stessa convenzione di inizio/inizializzazione.

4) Rumore, costi ed esecuzione possono dominare nei contesti di trading reali

Anche se la WMA è un calcolo deterministico, il suo utilizzo nelle decisioni può essere influenzato da fattori reali come costi di transazione, revisioni dei dati e modalità di campionamento/esecuzione dei valori. Le relazioni storiche non implicano automaticamente che il futuro si comporterà allo stesso modo, specialmente quando cambiano i regimi di volatilità.

Verifica e prossima domanda: come verificare il tuo calcolo

Per verificare autonomamente che il calcolo della WMA sia corretto:

1. Scrivi chiaramente il tuo n scelto, la tua lista di pesi wᵢ e la corrispondenza di ciascun peso a una posizione temporale specifica.
2. Calcola esplicitamente il numeratore Σ(wᵢ·x₍ₜ−i₎) e il denominatore Σwᵢ.
3. Verifica che la tua implementazione divida per il peso totale (normalizzazione).
4. Prova almeno un passo temporale con numeri piccoli e facilmente verificabili (come nell’esempio sopra) prima di fidarsi dei risultati su grandi dataset.

Se vuoi, il prossimo passo è confrontare come diverse regole di ponderazione modificano la WMA rispetto ad altre medie (ad esempio, semplice vs ponderata) e chiarire come impostazioni come la lunghezza della finestra alterino l’output.