Esempio Pratico di Correlazione tra Coppie (Spiegato con Assunzioni)

Risposta diretta

La correlazione tra coppie (spesso riferita alla correlazione tra due serie di rendimenti) è una misura numerica di quanto due variabili tendano a muoversi insieme. Nella pratica, si calcola un coefficiente di correlazione a partire da un insieme di osservazioni accoppiate (ad esempio, i rendimenti di due coppie di valute) raccolte negli stessi giorni e intervalli. Un esempio pratico chiarisce i passaggi, ma il calcolo dipende sempre da assunzioni come la finestra temporale, il modo in cui i rendimenti sono definiti e le regole di pulizia dei dati.

Meccanismo e definizione (ciò che si calcola effettivamente)

Per calcolare un esempio pratico di correlazione tra coppie, servono due serie di numeri di uguale lunghezza:

• Serie A: X₁, X₂, …, Xₙ (spesso rendimenti dello strumento A)
• Serie B: Y₁, Y₂, …, Yₙ (spesso rendimenti dello strumento B)

Una scelta comune è il coefficiente di correlazione di Pearson, definito come la covarianza standardizzata di A e B:

corr(A,B) = Σ[(Xᵢ − media(X)) (Yᵢ − media(Y))] / [ (n−1) × std(X) × std(Y) ]

Dove:

• media(X) è la media aritmetica di Xᵢ
• std(X) è la deviazione standard campionaria di Xᵢ (analogamente per Y)

Interpretazione (generale):

• corr ≈ +1: si muovono insieme nella stessa direzione
• corr ≈ −1: tendono a muoversi in direzioni opposte
• corr ≈ 0: non è evidente una relazione lineare nel campione

Evidenza pratica: uno scenario numerico completamente trasparente

Si supponga di aver già convertito i dati dei prezzi in rendimenti usando una regola specifica, e di aver scelto una finestra di 5 periodi. Per rendere concreto l’esempio, si utilizzino queste serie di rendimenti (assunzione: sono sincronizzate per data e intervallo):

• Rendimenti X (strumento A): [0.01, 0.02, −0.01, 0.00, 0.01]
• Rendimenti Y (strumento B): [0.005, 0.015, −0.005, 0.002, 0.008]

Assunzioni per questo esempio pratico:

1. I rendimenti sono già stati calcolati (non definiamo qui la formula da prezzo a rendimento).
2. Entrambe le serie sono misurate negli stessi cinque istanti temporali.
3. Si utilizza la correlazione di Pearson con deviazioni standard campionarie (il denominatore usa n−1).
4. Non ci sono osservazioni mancanti in nessuna delle due serie.

Passo 1: Calcolo delle medie. media(X) = (0.01+0.02−0.01+0.00+0.01)/5 = 0.006 media(Y) = (0.005+0.015−0.005+0.002+0.008)/5 = 0.005

Passo 2: Calcolo delle deviazioni e dei prodotti. Per ogni i:

• i1: (X−media) = 0.004; (Y−media) = 0.000 → prodotto = 0
• i2: (X−media) = 0.014; (Y−media) = 0.010 → prodotto = 0.00014
• i3: (X−media) = −0.016; (Y−media) = −0.010 → prodotto = 0.00016
• i4: (X−media) = −0.006; (Y−media) = −0.003 → prodotto = 0.000018
• i5: (X−media) = 0.004; (Y−media) = 0.003 → prodotto = 0.000012

Somma dei prodotti = 0 + 0.00014 + 0.00016 + 0.000018 + 0.000012 = 0.00033

Passo 3: Calcolo delle deviazioni standard campionarie. std(X) = sqrt( Σ(X−media)² / (n−1) )

• Σ(X−media)² = 0.004² + 0.014² + (−0.016)² + (−0.006)² + 0.004² = 0.000016 + 0.000196 + 0.000256 + 0.000036 + 0.000016 = 0.00052 Quindi std(X) = sqrt(0.00052 / 4) = sqrt(0.00013) ≈ 0.01140

std(Y) = sqrt( Σ(Y−media)² / (n−1) )

• Σ(Y−media)² = 0.000² + 0.010² + (−0.010)² + (−0.003)² + 0.003² = 0 + 0.0001 + 0.0001 + 0.000009 + 0.000009 = 0.000218 Quindi std(Y) = sqrt(0.000218 / 4) = sqrt(0.0000545) ≈ 0.00738

Passo 4: Calcolo della correlazione. Utilizzando la formula con (n−1): Cov(A,B) (campionaria) = 0.00033 / (n−1) = 0.00033 / 4 = 0.0000825 corr(X,Y) = Cov / (std(X)×std(Y)) corr ≈ 0.0000825 / (0.01140 × 0.00738) Denominatore ≈ 0.0000841 corr ≈ 0.98

Quindi, in questo scenario specifico (con tutte le assunzioni dichiarate), la correlazione tra coppie è vicina a +1, il che significa che le due serie di rendimenti sono fortemente positivamente correlate linearmente nei cinque periodi.

Limitazioni e rischi (ciò che la correlazione può non cogliere)

1. Instabilità nel tempo: la correlazione calcolata su una finestra breve o specifica può differire notevolmente se si cambia il periodo temporale o l’intervallo di campionamento. Anche se le due serie sembrano correlate in passato, la relazione può indebolirsi o invertirsi. 2) Sensibilità alla definizione esatta dei rendimenti: formule diverse per i rendimenti o il trattamento di valori anomali possono cambiare Xᵢ e Yᵢ, modificando così la correlazione calcolata.