Apa Itu Contoh Perhitungan R Kuadrat?

Jawaban langsung

Contoh perhitungan R kuadrat (R²) dimulai dengan kumpulan data kecil, menghitung nilai prediksi model, lalu membandingkan dua kuantitas: (1) variasi yang dijelaskan oleh model dan (2) total variasi dalam hasil yang diamati. R² adalah rasio variasi yang dijelaskan terhadap total variasi, didefinisikan sebagai

R² = 1 − (SSres / SStot)

di mana SSres adalah jumlah kuadrat residual dan SStot adalah jumlah kuadrat total di sekitar rata-rata.

Di bawah ini adalah contoh numerik lengkap. Ini tidak mengasumsikan data pasar langsung apa pun.

Mekanisme atau definisi

Untuk membuat perhitungan menjadi eksplisit, definisikan variabel dependen y (nilai yang diamati) dan serangkaian prediksi model ŷ untuk titik waktu yang sama.

1. Hitung rata-rata dari nilai yang diamati: ȳ = rata-rata(y).
2. Hitung jumlah kuadrat total (SStot): SStot = Σ(yi − ȳ)²
3. Hitung residual dan jumlah kuadrat residual (SSres): SSres = Σ(yi − ŷi)²
4. Ubah menjadi R²: R² = 1 − SSres / SStot

Interpretasi dalam istilah sederhana: R² meningkat ketika prediksi model tetap dekat dengan nilai yang diamati (residual kecil) relatif terhadap seberapa jauh observasi bervariasi di sekitar rata-ratanya (total variasi besar).

Bukti atau contoh

Asumsikan kita memiliki 4 hasil yang diamati y dan serangkaian prediksi sederhana ŷ yang dihasilkan oleh suatu model.

Misalkan:

• y = [2, 0, 4, 6]
• ŷ = [2, 1, 3, 5]

Asumsi:

• Prediksi ŷ sesuai dengan empat kasus yang sama dengan y.
• Kita menggunakan definisi standar varians yang dijelaskan dari R².
• Tidak ada biaya, efek eksekusi, atau perilaku masa depan yang disertakan; ini murni ringkasan aritmetika dari kecocokan untuk empat titik ini.

Langkah 1: Rata-rata dari y ȳ = (2 + 0 + 4 + 6) / 4 = 12/4 = 3

Langkah 2: Jumlah kuadrat total (SStot)

• (2 − 3)² = 1
• (0 − 3)² = 9
• (4 − 3)² = 1
• (6 − 3)² = 9 Jadi SStot = 1 + 9 + 1 + 9 = 20

Langkah 3: Residual dan SSres Residual (yi − ŷi):

• 2 − 2 = 0 → kuadrat: 0
• 0 − 1 = −1 → kuadrat: 1
• 4 − 3 = 1 → kuadrat: 1
• 6 − 5 = 1 → kuadrat: 1 Jadi SSres = 0 + 1 + 1 + 1 = 3

Langkah 4: Hitung R² R² = 1 − SSres / SStot = 1 − 3/20 = 17/20 = 0.85

Hasil: Untuk kumpulan data dan prediksi ini, R² = 0.85. Itu berarti kesalahan residual jauh lebih kecil daripada variabilitas y di sekitar rata-ratanya.

Keterbatasan dan risiko

1. R² bukan kausalitas. R² yang tinggi dapat terjadi bahkan jika model menangkap pola tanpa menjelaskan mengapa pola tersebut terjadi.
2. R² bergantung pada y yang dipilih dan bagaimana ŷ dihasilkan. Jika Anda mengubah bentuk model, data pelatihan, atau prapemrosesan, R² dapat berubah.
3. Risiko overfitting: Sebuah model dapat mencocokkan titik-titik historis dengan erat (R² tinggi dalam sampel) namun menggeneralisasi dengan buruk. Hubungan historis tidak menetapkan hasil masa depan.
4. Sensitivitas kumpulan data: Jika SStot kecil (nilai y mengelompok di dekat rata-ratanya), R² dapat menjadi tidak stabil atau menyesatkan.
5. Mode kegagalan dengan data di luar sampel: R² yang dihitung pada data baru bisa jauh lebih rendah daripada nilai dalam sampel karena residual biasanya meningkat ketika hubungan berubah.

Verifikasi atau pertanyaan berikutnya

Anda dapat memverifikasi secara independen nilai R² apa pun dengan menghitung ulang tiga bahan: ȳ, SStot, dan SSres menggunakan y yang diamati sama dan ŷ yang diprediksi sama. Jika Anda ingin melangkah lebih jauh, pertanyaan berikutnya yang berguna adalah bagaimana R² berperilaku ketika prediksi berasal dari jendela yang berbeda, penskalaan yang berbeda, atau pilihan model yang berbeda—terutama ketika hubungan tidak stabil dari waktu ke waktu.