ما هو مثال مُنجَز لمعامل R تربيع؟

الإجابة المباشرة

يبدأ مثال مُنجَز لمعامل R تربيع (R²) بمجموعة بيانات صغيرة، ثم يحسب القيم المتوقعة للنموذج، وبعد ذلك يقارن بين كميتين: (1) التباين المُفسَّر بواسطة النموذج و(2) التباين الكلي في النتائج المرصودة. إن R² هو نسبة التباين المُفسَّر إلى التباين الكلي، ويُعرَّف على النحو التالي:

R² = 1 − (SSres / SStot)

حيث إن SSres هو مجموع المربعات للحدود المتبقية، وSStot هو مجموع المربعات الكلي حول المتوسط.

فيما يلي مثال رقمي كامل. لا يفترض أي بيانات سوق حية.

الآلية أو التعريف

لجعل الحساب واضحًا، عرّف متغيرًا تابعًا y (قيمًا مرصودة) ومجموعة تنبؤات للنموذج ŷ لنقاط الزمن نفسها.

1. احسب متوسط القيم المرصودة: ȳ = متوسط(y).
2. احسب مجموع المربعات الكلي (SStot): SStot = Σ(yi − ȳ)²
3. احسب الحدود المتبقية ومجموع المربعات للحدود المتبقية (SSres): SSres = Σ(yi − ŷi)²
4. حوّل إلى R²: R² = 1 − SSres / SStot

التفسير بلغة بسيطة: يزداد R² عندما تبقى تنبؤات النموذج قريبة من القيم المرصودة (حدود متبقية صغيرة) مقارنةً بمدى تباين المشاهدات حول متوسطها (تباين كلي كبير).

الدليل أو المثال

افترض أن لدينا 4 نتائج مرصودة y ومجموعة بسيطة من التنبؤات ŷ ينتجها نموذج ما.

لنفرض:

• y = [2, 0, 4, 6]
• ŷ = [2, 1, 3, 5]

الافتراضات:

• تتوافق التنبؤات ŷ مع الحالات الأربع نفسها مثل y.
• نحن نستخدم التعريف القياسي لـ R² بوصفه “التباين المُفسَّر”.
• لا يتم تضمين أي تكاليف أو آثار تنفيذ أو سلوك مستقبلي؛ هذا مجرد ملخص حسابي لملاءمة هذه النقاط الأربع.

الخطوة 1: متوسط y ȳ = (2 + 0 + 4 + 6) / 4 = 12/4 = 3

الخطوة 2: مجموع المربعات الكلي (SStot)

• (2 − 3)² = 1
• (0 − 3)² = 9
• (4 − 3)² = 1
• (6 − 3)² = 9 إذًا SStot = 1 + 9 + 1 + 9 = 20

الخطوة 3: الحدود المتبقية وSSres الحدود المتبقية (yi − ŷi):

• 2 − 2 = 0 → تربيع: 0
• 0 − 1 = −1 → تربيع: 1
• 4 − 3 = 1 → تربيع: 1
• 6 − 5 = 1 → تربيع: 1 إذًا SSres = 0 + 1 + 1 + 1 = 3

الخطوة 4: حساب R² R² = 1 − SSres / SStot = 1 − 3/20 = 17/20 = 0.85

النتيجة: بالنسبة لهذه المجموعة من البيانات وهذه التنبؤات، فإن R² = 0.85. وهذا يعني أن خطأ الحدود المتبقية أصغر بكثير من تباين y حول متوسطها.

القيود والمخاطر

1. R² ليس سببية. يمكن أن يحدث R² مرتفع حتى لو كان النموذج يلتقط أنماطًا دون تفسير لماذا تحدث.
2. يعتمد R² على y المختارة وعلى كيفية إنتاج ŷ. إذا غيّرت شكل النموذج أو بيانات التدريب أو المعالجة المسبقة، فقد يتغير R².
3. خطر الإفراط في الملاءمة (Overfitting): قد يطابق النموذج النقاط التاريخية بدقة (R² مرتفع داخل العينة) لكنه قد يعمّم بشكل ضعيف. لا تُثبت العلاقات التاريخية النتائج المستقبلية.
4. حساسية مجموعة البيانات: إذا كان SStot صغيرًا (تتجمع قيم y قرب متوسطها)، فقد يصبح R² غير مستقر أو مضلِّلًا.
5. وضع الفشل مع بيانات خارج العينة: قد يكون R² المحسوب على بيانات جديدة أقل بكثير من قيمه داخل العينة لأن الحدود المتبقية عادةً ما تزداد عندما تتغير العلاقة.

التحقق أو السؤال التالي

يمكنك التحقق بشكل مستقل من أي قيمة لـ R² عبر إعادة حساب المكونات الثلاثة: ȳ وSStot وSSres باستخدام نفس y المرصودة ونفس ŷ المتوقعة. وإذا أردت التقدم أكثر، فإن سؤالًا مفيدًا لاحقًا هو كيف يتصرف R² عندما تأتي التنبؤات من نوافذ مختلفة أو تحجيم مختلف أو اختيارات نموذج مختلفة—خصوصًا عندما لا تكون العلاقات مستقرة عبر الزمن.