مثال عملي عن ارتباط الزوج (مُوضح مع افتراضات)
الإجابة المباشرة
ارتباط الزوج (غالبًا ما يُقصد به الارتباط بين سلسلتي عوائد) هو مقياس رقمي يوضح مدى ميل متغيرين إلى التحرك معًا. عمليًا، تحسب معامل الارتباط من مجموعة ملاحظات مقترنة (على سبيل المثال، عوائد زوجي عملة) تم جمعها عبر التواريخ والفواصل الزمنية نفسها. يوضح المثال العملي الخطوات، لكن الحساب يعتمد دائمًا على افتراضات مثل النافذة الزمنية، وكيفية تعريف العوائد، وقواعد تنظيف البيانات المستخدمة.
الآلية والتعريف (ما الذي تحسبه فعليًا)
لحساب مثال عملي عن ارتباط الزوج، تحتاج إلى سلسلتين متساويتين في الطول من الأرقام:
- السلسلة A: X₁, X₂, …, Xₙ (غالبًا عوائد للأداة A)
- السلسلة B: Y₁, Y₂, …, Yₙ (غالبًا عوائد للأداة B)
اختيار شائع هو معامل ارتباط بيرسون، ويُعرَّف على أنه التغاير المعياري بين A وB:
corr(A,B) = Σ[(Xᵢ − mean(X)) (Yᵢ − mean(Y))] / [ (n−1) × std(X) × std(Y) ]
حيث:
- mean(X) هو المتوسط الحسابي لـ Xᵢ
- std(X) هو الانحراف المعياري العيني لـ Xᵢ (وبالمثل بالنسبة لـ Y)
التفسير (بشكل عام):
- corr ≈ +1: يتحركان معًا في الاتجاه نفسه
- corr ≈ −1: يميلان إلى التحرك في اتجاهين متعاكسين
- corr ≈ 0: لا يظهر من العينة وجود علاقة خطية
دليل عملي: سيناريو عددي شفاف بالكامل
افترض أنك حوّلت بيانات الأسعار إلى عوائد باستخدام قاعدة محددة بالفعل، واخترت نافذة من 5 فترات. ولجعل المثال ملموسًا، استخدم سلاسل العوائد التالية (افتراض: أنها متزامنة حسب التاريخ والفاصل الزمني):
- عوائد X (الأداة A): [0.01, 0.02, −0.01, 0.00, 0.01]
- عوائد Y (الأداة B): [0.005, 0.015, −0.005, 0.002, 0.008]
افتراضات هذا المثال العملي:
- تم حساب العوائد بالفعل (لا نعرّف هنا صيغة السعر إلى العائد).
- تم قياس السلسلتين عبر نفس خمس الطوابع الزمنية.
- نستخدم ارتباط بيرسون مع الانحرافات المعيارية العينية (المقام يستخدم n−1).
- لا توجد ملاحظات ناقصة في أي من السلسلتين.
الخطوة 1: احسب المتوسطات. mean(X) = (0.01+0.02−0.01+0.00+0.01)/5 = 0.006 mean(Y) = (0.005+0.015−0.005+0.002+0.008)/5 = 0.005
الخطوة 2: احسب الانحرافات والجداءات. لكل i:
- i1: (X−mean) = 0.004; (Y−mean) = 0.000 → product = 0
- i2: (X−mean) = 0.014; (Y−mean) = 0.010 → product = 0.00014
- i3: (X−mean) = −0.016; (Y−mean) = −0.010 → product = 0.00016
- i4: (X−mean) = −0.006; (Y−mean) = −0.003 → product = 0.000018
- i5: (X−mean) = 0.004; (Y−mean) = 0.003 → product = 0.000012
مجموع الجداءات = 0 + 0.00014 + 0.00016 + 0.000018 + 0.000012 = 0.00033
الخطوة 3: احسب الانحرافات المعيارية العينية. std(X) = sqrt( Σ(X−mean)² / (n−1) )
- Σ(X−mean)² = 0.004² + 0.014² + (−0.016)² + (−0.006)² + 0.004² = 0.000016 + 0.000196 + 0.000256 + 0.000036 + 0.000016 = 0.00052 إذًا std(X) = sqrt(0.00052 / 4) = sqrt(0.00013) ≈ 0.01140
std(Y) = sqrt( Σ(Y−mean)² / (n−1) )
- Σ(Y−mean)² = 0.000² + 0.010² + (−0.010)² + (−0.003)² + 0.003² = 0 + 0.0001 + 0.0001 + 0.000009 + 0.000009 = 0.000218 إذًا std(Y) = sqrt(0.000218 / 4) = sqrt(0.0000545) ≈ 0.00738
الخطوة 4: احسب الارتباط. باستخدام الصيغة مع (n−1): Cov(A,B) (sample) = 0.00033 / (n−1) = 0.00033 / 4 = 0.0000825 corr(X,Y) = Cov / (std(X)×std(Y)) corr ≈ 0.0000825 / (0.01140 × 0.00738) المقام ≈ 0.0000841 corr ≈ 0.98
إذًا في هذا السيناريو المحدد (مع جميع الافتراضات المذكورة)، يكون ارتباط الزوج قريبًا من +1، ما يعني أن سلسلتي العوائد مرتبطتان خطيًا بشكل إيجابي قوي عبر الفترات الخمس.
القيود والمخاطر (ما الذي قد يفشل الارتباط في التقاطه)
- عدم الاستقرار عبر الزمن: قد يختلف الارتباط المحسوب من نافذة قصيرة أو محددة بشكل كبير إذا غيّرت فترة الزمن أو فاصل أخذ العينات. حتى إذا بدت السلسلتان مترابطتين في الماضي، فقد تضعف العلاقة أو تنعكس. 2) الحساسية لتعريف العوائد بدقة: قد تؤدي صيغ عوائد مختلفة أو التعامل مع القيم الشاذة إلى تغيير Xᵢ وYᵢ، وبالتالي تغيير معامل الارتباط المحسوب.